Mathématiques I

Notre programme de révision de Mathématiques I sur la plateforme Rayen Academy pour les étudiants qui vont passer le concours National d’Entrée aux Ecoles d’Ingénieurs section MP, est présenté sous forme de sept problèmes (certains sont extraits des concours Français ou marocains) corrigés avec détail tout en présentant une rédaction conforme à la correction du concours national et ceci pour bénéficier d’une bonne préparation et mettre toutes les chances de votre coté pour l’obtenir avec succès. Les corrigés de ces problèmes sont présentés sous forme de séquences de vidéos.

Les objectifs abordés dans ces sujets sont les suivants :

                    1. PROBLEME N01

Ce problème révise les théorèmes fondamentaux des chapitres séries de fonctions et intégrales dépendant d’un paramètre tout en insistant sur la rédaction conforme `a la correction du concours national.

Dans ce problème on verra aussi la différence entre le théorème de convergence dominée et intégration terme à terme en montrant quand utiliser l’un ou l’autre.

La notion du d´développement en série entière est évoquée dans ce sujet.

                   2. PROBLEME N02

Ce problème étudie la transformé de Laplace qui est une intégrale dépendant d’un paramètre. On révise alors les théorèmes fondamentaux des chapitres intégration et intégrales dépendants d’un paramètre tout en insistant sur la rédaction.

Dans ce problème on verra aussi l’injectivité de la transformé de Laplace par deux méthodes : la première en appliquant le théorème de Weirestrass et la deuxième en utilisant la loi de poisson tout en révisant quelques notions de probabilité.

                    3. PROBLEME N03

Ce problème révise d’abords les séries numériques puis les théorèmes fondamentaux des chapitres séries de fonctions y compris la notion de comparaison série intégrale et intégrales dépendant d’un paramètre tout en insistant sur la rédaction conforme à la correction du concours national.

Dans ce problème on utilisera les familles sommables.

Les parties 4-5 et 6 sont dédiées à une application de la fonction zêta en probabilité. En effet on étudiera la loi zêta puis la loi conjointe de deux variables aléatoires et la notion de fonction génératrice. Enfin on termine par l’application de la loi zêta et nombre premier tout en rappelant les théorèmes de continuités monotones des probabilités.

                     4. PROBLEME N04

Dans ce problème on trouve les fonctions classiques ( fonction gamma, digamma, béta et zêta) tout en révisant les théorèmes fondamentaux des chapitres séries de fonctions et intégrales dépendant d’un paramètre et les séries entières (développement en série entière et produit de Cauchy de deux séries entières).

                  5. PROBLEME N05

Ce problème contient deux parties indépendantes : la première révise les séries entières et les intégrales dépendants d’un paramètre en intervenant les équations différentielles. La deuxième partie c’est du probabilité autour de la loi de poisson en approximant la probabilité d’un ´évènement `a l’aide d’une intégrale.

                    6. PROBLEME N06

Ce problème révise les variables aléatoires telle la loi de poisson, loi binomiale et loi géométrique tout en passant par les différents notions de probabilités.

                  7. PROBLEME N07

Ce problème est destiné à la révision de la topologie des espaces vectoriels normés. Il comporte six parties :

(a) La partie 1 étudie les normes matricielle en définissant une norme subordonnée sur l’ensemble des matrices carrée qui sera utiliser pour étudier la convergence d’une suite vectorielle.

(b) La partie 2 est consacrée à la notion d’exponentielle d’une matrice en résolvant des questions classiques à ce sujet.

(c) L’objectif de la partie 3 est de prouver l'équivalence de continuité d’une forme linéaire non nulle avec le fait que son noyau est fermé. Dans le cas contraire ceci entraine la densité de ce noyau.

(d) La partie 4 aborde la notion de distance d’un vecteur `a une partie non vide et voir quand cette distance est atteinte selon que cette partie soit un fermé, dense ou convexe fermé d’un espace euclidien.

(e) Dans cette partie on va réviser la notion de connexité par arcs et comment prouver qu’une partie est connexe par arc.

(f) La partie 6 est consacrée `a l’application des caractérisations séquentielles parties compactes ou fermées en l’appliquant à l’étude des suites récurrente dans ces parties.